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　　2。5实验三通过推理关系测验被试能否利用“零”进行乘除运算。

　　被试：有效被试21人。二年12名（男7，女6）；三年9年（男5，女4）。

　　材料：本实验共包括20组图片，每组包括4张图片。其中，11组图片做练习之用，正式测验图片9组。分两种水平，前一种是乘法水平，后一种是除法水平。

　　步骤：首先对被试进行训练，以使被试理解测验意图。方法为每2张图片为一组，彼此之间形成乘或除关系，在连续呈现第一、第二张图片后，让被试推断即将出现的第三张图片应该是什么样子。然后，呈现供选择的四张图片，让被试从中选出正确的图片。若不理解，可重复前述过程以便被试做出正确选择。在被试理解了测验意图后，进行正式测验。正式测验的每组图片形成递推关系，供选择的第三张图片正确答案应为“零”。

　　测验环境：同实验一

　　记分标准：采用2，1，0三级记分，即自己正确回答2分，经提示正确回答，1分，经提示回答错误或不会回答，0分。

　　3结果

　　表1至表4分别列出了各项实验的结果。

　　表1学前至小学三年级儿童“零”概念理解的测验成绩（实验一）

　　附图{图}

　　表2学前至小学三年级儿童利用“零”进行加减运算测验的成绩（实验二）

　　附图{图}

　　表3小学二、三年级岁儿童利用“零”进行乘除运算测验的成绩（实验三）

　　附图{图}

　　注：水平一、二和总体水平的p值分别为0。098、0。058、0。060。

　　4分析与讨论

　　本研究将从教育水平和年龄发展两个方面对实验结果分别加以讨论。

　　实验一分三种水平呈现了10组图片，每组由3张连续递减的图片组成，第一、二种水平分别由单一类型和两种类型抽象图片构成，第三种水平由实物图片构成。结果表明，学前至小学三年级被试在三种水平上对“零”概念的掌握呈逐渐上升趋势，且差异检验均达显着性水平。由于被试受教育的年龄略有差异，使5至9岁各年龄组被试中7、9岁组被试过少，分别为4和7人，但若以年龄为X轴，仍能观察到测验成绩随年龄增长呈上升趋势，但7岁时显示出明显的转折，8岁略有下降后呈平稳发展趋势。

　　实验二分两种水平12组图片分别测试了儿童使用“零”进行加减运算的能力。结果表明，随着年级的升高，该能力也逐渐发展，并迅速达到较高的水平，且差异检验均达显着性水平。若不考虑9岁年龄组仅有3名被试（经初步预测发现，9岁孩子在该测验上产生“天花板效应”，故未继续测试），这种加减运算能力随年龄增长也呈现出与实验一相似的变化趋势。实验三也分两种水平9组图片对小学二、三年级被试进行了使用“零”进行乘除运算的能力的测验。之所以没有提供小学二年级以前的数据，是因为发现这一任务对他们显得太困难了。结果表明，儿童运用“零”进行乘除运算的能力也呈上升趋势，差异检验均接近显着水平，即使排除协变量年龄的影响，各年级的成绩之间依然达显着性水平。从年龄发展看，在7至9岁的上升期内，8岁时出现了戏剧性的急剧下降，但差异检验并未达显着性水平。从被试构成看，7、8、9岁的被试分别为4、10和7人，但是，在8岁组的10个人中，分别各有5人在小学二、三年级接受教育，在剔除协变量教育程度的影响后，发现在总的水平上不同年龄组之间的差异达显着性水平(p=0。021)，说明教育对于乘除运算能力的掌握具有积极的促进作用，而且，在除法能力的运算方面也达显着水平(0。043)，乘法运算能力之间不存在差异(p=0。105)，说明使用“零”概念进行除法运算更需要教育的参与。

　　对所有三项实验中被试性别差异的检验显示，“零”概念的掌握和运算均不存在性别差异（所有的p＞0。05）。这一结论与刘范等对其他数概念形成的研究结论是一致的[8]。但需要补充的是，通过对被试测验期间的反应记录和个别访谈发现，儿童对“零”概念的掌握之间存在明显的个别差异，而且，教育对于“零”概念的获得具有明显的促进作用。例如，有一5岁女孩，不但能准确地解释什么是“零”，而且，还能说出零之下还有负数，访谈发现，其母亲很早就对她进行数学方面的训练。

　　5结论

　　综合三项实验研究结果，结合以往研究的结论[9-11]，本研究认为，儿童“零”概念的掌握是儿童数概念形成中较高级水平的标志之一。“零”概念的获得要晚于其他数概念，7岁左右（相当于小学二年级）可能是儿童“零”概念获得的一个转折点。儿童对“零”概念内涵的掌握是逐步深入的，教育对于“零”概念精确含义的掌握是必不可少的，尤其是在除法运算中对“零”概念含义的理解。